已知函数f（x）=a|x|+2ax（a＞1），x∈[-2，+∞），若f（x）的最小值与a无关，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=a|x|+2ax（a＞1），x∈[-2，+∞），若f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-25 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=a^|x|+2a^x（a＞1），x∈[-2，+∞），若f（x）的最小值与a无关，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

当x∈[0，+∞）时，f（x）=a^x+2a^x=3a^x．
∵a＞1，∴f（x）_min=f（0）=3．
当x∈[-2，0）时，f（x）=

1

ax

+2a^x．
∵a＞1，∴

1

a2

≤a^x＜1．
∵

1

ax

+2a^x≥2

2

，当且仅当

1

ax

=2a^x，即a^x=

2

时等号成立．
∴若

1

a2

＞

2

，即1＜a＜

4	2

，则f（x）_min=f（

1

a2

）=a²+

2

a2

，
若

1

a2

≤

2

，即a≥

4	2

，则f（x）_min=2

2

．
又∵a²+

2

a2

＜3（否则，由a²+

2

a2

≥3，得（a²-1）（a²-2）＞0，又a＞1，所以a²＞2，即a＞

2

，
即a＞

2

，这与1＜a＜

4	2

矛盾），
∴当1＜a＜

4	2

时，f（x）_min=a²+

2

a2

；
当a≥

4	2

时，f（x）_min=2

2

．
故当f（x）的最小值与a无关时，a的取值范围是[

4	2

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=a|x|+2ax（a＞1），x∈[-2，+∞），若f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

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