已知数列{an}中，a1=1，an+1an﹣1=anan﹣1+an2（n∈N，n≥2），且=kn+1．（1）求证：k=1；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求数列{}的前n项和．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，an+1an﹣1=anan﹣1+an2（n∈N，n≥2），且=kn+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a _n+1 a _n﹣1=a_na _n﹣1+a_n²（n∈N，n≥2），且

=kn+1．
（1）求证：k=1；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{

}的前n项和．

试题来源：四川省月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵

=kn+1，a₁=1
故

又因为a₁=1，a_n+1 a_n﹣1=a_na _n﹣1+a_n²（n≥2）则

，
即

∵

∴a₂=2k
∴k+1=2k
∴k=1.
（2）∵

=n+1
∴a_n=

=n（n﹣1）（n﹣2）…2

1=n!
（3）因为

，设其前n项和为 S_n，
当x=1时，

，
当x≥1时，

…（1）
x

…（2）
由（1）﹣（2）得：

∴

综上所述：

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，an+1an﹣1=anan﹣1+an2（n∈N，n≥2），且=kn+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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