发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-01 07:30:00
| 试题原文 |
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| 解：（Ⅰ）先用数学归纳法证明0＜an＜1，n∈N*． （1）当n=1时，由已知得结论成立； （2）假设当n=k时，结论成立，即0＜ak＜1．则 当n=k+1时， ∵0＜x＜1时，f'（x）=1﹣  = ＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数． 又∵f（x）在[0，1]上连续， ∴f（0）＜f（ak）＜f（1），即0＜a k+1＜1＜1﹣ln2＜1． 故当n=k+1时，结论也成立． 即0＜an＜1对于一切正整数都成立． 又由0＜an＜1，得a n+1﹣an=an﹣ln（1+an）﹣an=﹣ln（1+an）＜0， 从而a n+1＜an． 综上可知0＜a n+1＜an＜1。 （Ⅱ）构造函数g（x）=  ﹣f（x）= ，0＜x＜1，由g’（x）=  ＞0，知g（x）在（0，1）上增函数．又g（x）在[0，1]上连续， ∴g（x）＞g（0）=0． ∵0＜an＜1， ∴g（an）＞0，即  ﹣f（an）＞0，从而a n+1＜ （Ⅲ）∵b1=  ，b n+1≥ （n+1）bn，∴bn＞0，  ，∴bn=  ，①由（Ⅱ）a n+1＜  知： ，∴  = ，∵a1=  ，n≥2，0＜a n+1＜an＜1∴an＜  ＜ ＜ = ．②由①②两式可知：bn＞an  n!． |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x﹣ln（1+x），数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）；数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。
，b n+1≥
（n+1）bn，n∈N*．求证：
，则当n≥2时，bn＞an
n!．