证明不等式1+12+13+…+1n＜2n（n∈N*）-数学试题及答案

1、试题题目：证明不等式1+12+13+…+1n＜2n（n∈N*）

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

证明不等式1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

（n∈N^*）

试题来源：云南试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；
（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＜2

k

，
则

1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k+1

＜2

k

+

1

k+1

=

2

k(k+1)

+1

k+1

＜

k+(k+1)+1

k+1

=2

k+1

，

∴当n=k+1时，不等式也成立．
综合（1）、（2）得：当n∈N^*时，都有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

．
证法二：设f（n）=2

n

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)，
那么对任意k∈N^* 都有：

f(k+1)-f(k)=2(

k+1

-

k

)-

1

k+1

=

1

k+1

[2(k+1)-2

k(k+1)

-1]

=

1

k+1

?[(k+1)-2

k(k+1)

+k]=

(

k+1

-

k

)2

k+1

＞0

∴f（k+1）＞f（k）
因此，对任意n∈N^* 都有f（n）＞f（n-1）＞…＞f（1）=1＞0，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“证明不等式1+12+13+…+1n＜2n（n∈N*）”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

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