已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，其左、右焦点分别为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=72，PF1?PF2=34（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S(0，-13)且斜-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，其左、右焦点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

，其左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=

7

2

，

PF1

?

PF2

=

3

4

（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S(0，-

1

3

)且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和△MAB面积的最大值；若不存在，说明理由．

试题来源：聊城一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
则由|OP|=

7

2

得

x

20

+

y

20

=

7

4

；
由

PF1

?

PF2

=

3

4

得(-c-x0，-y0)?(c-x0，-y0)=

3

4

，
即

x

20

+

y

20

-c2=

3

4

．
所以c=1…（2分）
又因为

c

a

=

2

，所以a²=2，b²=1．…（3分）
因此所求椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）动直线l的方程为y=kx-

1

3

，
由

y=kx-

1

3

x2

2

+y2=1

，
得(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=-

16

9(2k2+1)

．…（6分）
假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，
则

MA

=(x1，y1-m)，

MB

=(x2，y2-m)．

MA

?

MB

=x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2
=x1x2+(kx1-

1

3

)(kx2-

1

3

)-m(kx1-

1

3

+kx2-

1

3

)+m2
=(k2+1)x1x2-k(

1

3

+m)(x1+x2)+m2+

2

3

m+

1

9

=-

16(k2+1)

9(2k2+1)

-k(

1

3

+m)

4k

3(2k2+1)

+m2+

2

3

m+

1

9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

．
由假设得对于任意的k∈R，

MA

?

MB

=0恒成立，
即

m2-1=0

9m2+6m-15=0

，
解得m=1．
故在y轴上存在定点M（0，1），
使得以AB为直径的圆恒过这个点…（10分）
这时，点M到AB的距离d=

4

3

k2+1

，
|AB|=

(k2+1)(x1-x2)2

．

S△MAB=

1

2

|AB|d=

2

3

(x1-x2)2

=

2

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

3

16k2

2(k2+1)2

+

64

9(2k2+1)

=

8

9

9k2+4

(2k2+1)2

．

设2k²+1=t，
则k2=

t-1

2

，
得t∈[1，+∞)，

1

t

∈(0，1]．
所以S△MAB=

8

9

2

(

1

t

)-

1

2

(

1

t

)2

=

8

9

1

2

[

81

4

-(

1

t

-

9

2

)2]

≤

16

9

．
当且仅当

1

t

=1时，上式等号成立．
因此，△MAB面积的最大值是

16

9

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，其左、右焦点..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：