已知椭圆E的方程为2x2+y2=2，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆E的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标；（2）求△ABO（O为原点）的面积的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E的方程为2x2+y2=2，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆E的方程为2x²+y²=2，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆E的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标；
（2）求△ABO（O为原点）的面积的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）将椭圆E的方程化为标准方程：x2+

y2

2

=1，（1分）
于是a=

2

，b=1，c=

a2-b2

=1，
因此，椭圆E的长轴长为2a=2

2

，短轴长为2b=2，离心率e=

c

a

=

2

，两个焦点坐标分别是F₁（0，-1）、F₂（0，1），四个顶点的坐标分别是A1(0，-

2

)，A2(0，

2

)，A₃（-1，0）和A₄（1，0）．（6分）
（2）依题意，不妨设直线l过F₂（0，1）与椭圆E的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则S△ABO=

1

2

|OF|?|x1-x2|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

．（8分）
根据题意，直线l的方程可设为y=kx+1，
将y=kx+1代入2x²+y²=2，得（k²+2）x²+2kx-1=0．
由韦达定理得：x1+x2=-

2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

，（10分）
所以S△ABO=

1

2

(-

2k

k2+2

)2+

4

k2+2

=

2

?

k2+1

k2+2

=

2

k2+1

+

1

k2+1

≤

2

（当且仅当

k2+1

=

1

k2+1

，即k=0时等号成立）．（13分）
故△ABO的面积的最大值为

2

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E的方程为2x2+y2=2，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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