在平面直角坐标系中，已知点A(12，0)，点B在直线l：x=-12上运动，过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系中，已知点A(12，0)，点B在直线l：x=-12上运动，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-14 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系中，已知点A (

1

2

， 0 )，点B在直线l：x=-

1

2

上运动，过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆C：（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：点到直线的距离

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），由题设知，|MB|=|MA|．
所以动点M的轨迹E是以A (

1

2

， 0 )为焦点，
l：x=-

1

2

为准线的抛物线，其方程为y²=2x；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直线PR的方程为（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，
即

| y0-b+x0b |

( y0-b )2+x02

=1．
注意到x₀＞2，化简上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
由上可知，b，c为方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的两根，
根据求根公式，可得b-c=

4

x

20

+4

y

20

-8x0

x0-2

=

2x0

x0-2

．
故△PRN的面积为
S=

1

2

( b-c )x0=

x

20

x0-2

=( x0-2 )+

4

x0-2

+4≥2

( x0-2 )?

4

x0-2

+4=8，
等号当且仅当x₀=4时成立．此时点P的坐标为( 4 ， 2

2

)或( 4 ， -2

2

)．
综上所述，当点P的坐标为( 4 ， 2

2

)或( 4 ， -2

2

)时，△PRN的面积取最小值8．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系中，已知点A(12，0)，点B在直线l：x=-12上运动，..”的主要目的是检查您对于考点“高中点到直线的距离”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中点到直线的距离”。

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