如图，二次函数y=x2+px+q（p<0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为。（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线-数学试题及答案

1、试题题目：如图，二次函数y=x2+px+q（p<0）的图象与x轴交于A、B两点，与y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-12 07:30:00

试题原文

如图，二次函数y=x²+px+q（p<0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为

。

（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

试题来源：广东省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由点C的坐标为（0，-1），得OC=1，又∵△ABC的面积为， ∴，即，由抛物线与y轴交于（0，-1），得y=x²+px+g（p<0）中的q=-1，则当y=0时，0=x²+px-1，设它的两个根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-p，x₁x₂=-1，且A、B两点的坐标为（x₁，0）、（x₂，0），由直角坐标系上两点间的距离公式可得x₂-x₁=AB=， ∴， ∴x₁²+x₂²-2x₁x₂=， ∴x₁²+x₂²+2x₁x₂-4x₁x₂=， ∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=，即p²+4=，解得， ∵p<0，∴p=， ∴该抛物线的关系式为；
（2）设△ABC的外接圆交y轴于另一点D，如图由得x₁=2，， ∴，连接AD，在△ABC的外接圆中， ∵， ∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB， ∴△AOD∽△COB， ∴， ∴， ∴DO=1， ∴CO=DO=1，又∵AB⊥CD， ∴AB过△ABC外接圆的圆心，即AB为△ABC外接圆的直径， ∴△ABC外接圆的直径为， ∴直线与△ABC的外接圆相切， ∴；
（3）存在 ∵AB是△ABC外接圆的直径， ∴∠ACB=90°，这时抛物线上必有点D，且当AD∥BC或BD∥AC时使四边形ACBD为直角梯形，当AD∥BC时，可求得直线BC的关系式为， ∴直线AD的关系式为，则它与抛物线的交点坐标为，此时点D的坐标为，当BD∥AC时，可求直线AC的关系式为y=-2x-1， ∴直线BD的关系式为y=-2x+4，则它与抛物线的交点坐标为，此时点D的坐标为， ∴当点D在或的位置时，四边形ACBD为直角梯形。