已知数列{an}的前n项和Sn是二项式（1+2x）2n（n∈N*）展开式中含x奇次幂的系数和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设f（n）=49an+12，求cn=f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（nn），求1c1c2+1c2c3+…-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn是二项式（1+2x）2n（n∈N*）展开式中含x奇次..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-14 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和S_n是二项式（1+2x）²ⁿ（n∈N^*）展开式中含x奇次幂的系数和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（n）=

4

9an+12

，求c_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

），求

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

的值．

试题来源：襄阳模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二项式定理与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）记（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-…-a_2n-1+a_2n两式相减得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）
∴S_n=

1

2

（9ⁿ-1）（4分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4×9^n-1当n=1时，a₁=S₁=4，适合上式
∴a_n=4×9^n-1（n∈N）（6分）
（2）f（n）=

4

4×9n+12

=

1

9n+3

注意到f（n）+f（1-n）=

1

9n+3

+

1

91-n+3

=

1

9n+3

+

9n

9+3×9n

=

1

3

（8分）
c_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

），
可改写为c_n=f（

n

）+f（

n-1

n

）+…+f（

1

n

）+f（0）
∴2c_n=[f（0）+f（

n

）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+…+[f（

n-1

n

）+f（

1

n

）]+[f（

n

）+f（0）]
故c_n=

n+1

6

，即f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

）=

n+1

6

（8分）
∴

1

cncn+1

=

36

(n+1)(n+2)

=36×（

1

n+1

-

1

n+2

）

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=36×[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）（12分）
=36×（

1

2

-

1

n+2

）]=18-

36

n+2

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn是二项式（1+2x）2n（n∈N*）展开式中含x奇次..”的主要目的是检查您对于考点“高中二项式定理与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二项式定理与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：