已知α，β是方程4x2-4tx-1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f(x)=2x-tx2+1的定义域为[α，β]．（Ⅰ）求g（t）=maxf（x）-minf（x）；（Ⅱ）证明：对于ui∈(0，π2)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3-数学试题及答案

1、试题题目：已知α，β是方程4x2-4tx-1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f(x)=2x-tx..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

已知α，β是方程4x²-4tx-1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f(x)=

2x-t

x2+1

的定义域为[α，β]．
（Ⅰ）求g（t）=maxf（x）-minf（x）；
（Ⅱ）证明：对于ui∈(0，

π

2

)(i=1，2，3)，若sinu₁+sinu₂+sinu₃=1，则

1

g(tanu1)

+

1

g(tanu2)

+

1

g(tanu3)

＜

3

4

6

．

试题来源：广州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设α≤x₁＜x₂≤β，则4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，∴4(

x

21

+

x

22

)-4t(x1+x2)-2≤0， ∴2x1x2-t(x1+x2)-

1

2

＜0
则f(x2)-f(x1)=

2x2-t

x

22

+1

-

2x1-t

x

21

+1

=

(x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2]

(

x

22

+1)(

x

21

+1)

又t(x1+x2)-2x1x2+2＞t(x1+x2)-2x1x2+

1

2

＞0 ∴f(x2)-f(x1)＞0
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．（3分）
∵α+β=t， αβ=-

1

4

，∴g(t)=maxf(x)-minf(x)=f(β)-f(α)=

(β-α)[t(α+β)-2αβ+2]

α2β2+α2+β2+1

=

t2+1

(t2+

5

2

)

t2+

25

16

=

8

t2+1

(2t2+5)

16t2+25

（6分）
（Ⅱ）证：g(tanui)=

8

cosui

(

2

cos2ui

+3)

16

cos2ui

+9

=

16

cosui

+24cosui

16+9cos2ui

≥

2

16×24

16+9cos2ui

=

16

6

16+9cos2ui

(i=1，2，3)（9分）∴

3

i=1

1

g(tanui)

≤

1

16

6

3

i=1

(16+9cos2ui)=

1

16

6

(16×3+9×3-9)

3

i=1

sin2ui)（15分）∵

3

i=1

sinui=1，且ui∈(0，

π

2

)， i=1，2，3 ∴3

3

i=1

sin2ui≥(

3

i=1

sinui)2=1，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，∴

1

g(tanu1)

+

1

g(tanu2)

+

1

g(tanu3)

＜

3

4

6

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知α，β是方程4x2-4tx-1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f(x)=2x-tx..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：