设函数f（x）=2x+a?2-x-1（a为实数）．（1）若a＜0，用函数单调性定义证明：y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（2）若a=0，y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，求函数y=g（x）的解析-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=2x+a?2-x-1（a为实数）．（1）若a＜0，用函数单调性定义证明..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=2^x+a?2^-x-1（a为实数）．
（1）若a＜0，用函数单调性定义证明：y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）若a=0，y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，求函数y=g（x）的解析式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设任意实数x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=(2x1+a?2-x1-1)-(2x2+a?2-x2-1)=(2x1-2x2)+a(2-x1-2-x2)=(2x1-2x2)?

2x1+x2-a

2x1+x2

∵x1＜x2，∴2x1＜2x2，∴2x1-2x2＜0；
∵a＜0，∴2x1+x2-a＞0．
又2x1+x2＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）是增函数．
（2）当a=0时，y=f（x）=2^x-1，所以2^x=y+1，所以x=log₂（y+1），y=g（x）=log₂（x+1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=2x+a?2-x-1（a为实数）．（1）若a＜0，用函数单调性定义证明..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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