已知定义域为R的函数f(x)=a?2x-12x+1是奇函数．（1）求a的值；（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若对任意的t∈[-2，2]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域为R的函数f(x)=a?2x-12x+1是奇函数．（1）求a的值；（2）试..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知定义域为R的函数f(x)=

a?2x-1

2x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意的t∈[-2，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（-x）=-f（x）?f（0）=0
则

a-1

1+1

=0?a=1
（2）f（x）为递增函数
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）为递增函数
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0对t∈[-2，2]恒成立
则f（t²-2t）＜-f（2t²-k）对t∈[-2，2]恒成立
因为f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x）
则f（t²-2t）＜f（-2t²+k）对t∈[-2，2]恒成立
又因为f（x）为递增函数
所以t²-2t＜-2t²+k对t∈[-2，2]恒成立
即3t²-2t-k＜0对t∈[-2，2]恒成立
令u=3t²-2t-k，t∈[-2，2]，当x=-2时，u_max=16-k
则16-k＜0，则k＞16

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为R的函数f(x)=a?2x-12x+1是奇函数．（1）求a的值；（2）试..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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