已知函数f(x)=x-1xm且f(2)=32，x∈(0，+∞)．（1）判断f（x）在其定义域上的单调性并证明；（2）若f（3x-2-1）＜f（9x-1），求x的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x-1xm且f(2)=32，x∈(0，+∞)．（1）判断f（x）在其定义域..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x-

1

xm

且f(2)=

3

2

，x∈(0，+∞)．
（1）判断f（x）在其定义域上的单调性并证明；
（2）若f（3^x-2-1）＜f（9^x-1），求x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(2)=

3

2

，
∴2-

1

2m

=

3

2

，
∴m=1，
∴f(x)=x-

1

x

（3分）
在（0，+∞）内任取两个值x₁，x₂，且x₁＜x₂（4分）
f(x1)-f(x2)=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

（7分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，∵x₁＞0，x₂＞0，
∴x₁x₂＞0，1+x₁x₂＞0，∴f（x₁）＜f（x₂）（9分）
所以f（x）在其定义域上是单调增函数．（10分）
（2）由题意得：

3x-2-1＞0

9x-1＞0

3x-2-1＜9x-1

（13分）
∴

x＞2

x＞0

x＞-2

，∴x＞2（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x-1xm且f(2)=32，x∈(0，+∞)．（1）判断f（x）在其定义域..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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