已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）2，其中，a为实常数且a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若f(x)≥a2对任意x∈（-1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）2，其中，a为实常数且a≠0．（Ⅰ）求f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，其中，a为实常数且a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若f(x)≥

a

2

对任意x∈（-1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′(x)=

a

x+1

+2(x+1)=

2(x+1)2+a

x+1

（2分）
因为f（x）的定义域为（-1，+∞），所以x+1＞0
当a＞0时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调增区间为（-1，+∞）（4分）
当a＜0时，2（x+1）²＞-a，即x＞-1+

-

a

2

时f′（x）＞0，
此时f（x）的单增区间为(-1+

-

a

2

，+∞)（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在（-1，+∞）单调增，而当x→0时，f（x）→-∞
所以此时f（x）无最小值，不合题意（7分）
当a＜0时，f（x）在(-1，-1+

-

a

2

)上单调减，在(-1+

-

a

2

，+∞)上增，
所以f(x)≥

a

2

恒成立，即f(-1+

-

a

2

)≥

a

2

?aln

-

a

2

+(

-

a

2

)2≥

a

2

（10分）
?ln

-

a

2

≤1，得0＜

-

a

2

≤e?-2e2≤a＜0.（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）2，其中，a为实常数且a≠0．（Ⅰ）求f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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