已知向量m=(1a，12a)(a＞0)，将函数f(x)=12ax2-a的图象按向量m平移后得到函数g（x）的图象．（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；（Ⅱ）若函数g(x)在[2，2]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量m=(1a，12a)(a＞0)，将函数f(x)=12ax2-a的图象..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知向量

m

=(

1

a

，

1

2a

)(a＞0)，将函数f(x)=

1

2

ax2-a的图象按向量

m

平移后得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g(x)在[

2

，2]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设P（x，y）是函数y=f（x）图象上的任意一点，它在函数y=g（x）图象上的对应点P'（x'，y'），则由平移公式，得

x′=x+

1

a

y′=y-

1

2a

∴

x=x′-

1

a

y=y′+

1

2a

代入函数y=f(x)=

1

2

ax2-a中，
得y′+

1

2a

=

1

2

a(x′-

1

a

)2-a.
∴函数y=g（x）的表达式为g(x)=

1

2

a(x-

1

a

)2-a-

1

2a

.
（Ⅱ）函数g（x）的对称轴为x=

1

a

＞0.
①当0＜

1

a

＜

2

即a＞

2

时，函数g（x）在[

2

，2]上为增函数，
∴h(a)=g(

2

)=-

2

；
②当

2

≤

1

a

≤2即

1

2

≤a≤

2

时，h(a)=g(

1

a

)=-a-

1

2a

.
∴h(a)=-a-

1

2a

=-(a+

1

2a

)≤-2

a?

1

2a

=-

2

当且仅当a=

2

时取等号；
③当

1

a

＞2即0＜a＜

1

2

时，函数g（x）在[

2

，2]上为减函数，
∴h(a)=g(2)=a-2＜

1

2

-2=-

3

2

.
综上可知，h(a)=

-

2

，a＞

2

-a-

1

2a

1

2

≤a≤

2

.

a-2，0＜a＜

1

2

∴当a=

2

时，函数h（a）的最大值为h(

2

)=-

2

.

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量m=(1a，12a)(a＞0)，将函数f(x)=12ax2-a的图象..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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