已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且x∈[-1，0]时，f(x)=xx2+1．（1）求f（0），f（-1）；（2）求函数f（x）的表达式；（3）判断并证明函数在区间[0，1]上的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且x∈[-1，0]时，f(x)=xx2+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且x∈[-1，0]时，f(x)=

x

x2+1

．
（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）判断并证明函数在区间[0，1]上的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x=0，x=-1时，f(0)=0，f(-1)=-

1

2

…（2分）
（2）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，则f(-x)=

-x

x2+1

…（4分）
因为函数f（x）为偶函数，所以有f（-x）=f（x）
既f(x)=

-x

x2+1

…（6分）
所以f(x)=

-x

x2+1

，x∈[0，1]

x

x2+1

，x∈[-1，0)

…（8分）
（3）设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x2)-f(x1)=

-x2

x22+1

-

-x1

x12+1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x22+1)(x12+1)

…（12分）
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0…（14分）
∴

(x2-x1)(x1x2-1)

(1+ x12)(1+x22)

＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在[0，1]为单调减函数…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且x∈[-1，0]时，f(x)=xx2+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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