已知f（x）=2x2+ax，且f（1）=3，（1）试求a的值，并证明f（x）在[22，+∞）上单调递增．（2）设关于x的方程f（x）=x+b的两根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=2x2+ax，且f（1）=3，（1）试求a的值，并证明f（x）在[22，+∞..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知f（x）=

2x2+a

x

，且f（1）=3，
（1）试求a的值，并证明f（x）在[

2

，+∞）上单调递增．
（2）设关于x的方程f（x）=x+b的两根为x₁，x₂，试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意的b∈[2，

13

]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（1）=3，∴a=1，∴f（x）=

2x2+1

x

，设

2

≤x₁＜x₂，
∴f（x₂）-f（x₁）=2x₂+

1

x2

-（2x₁+

1

x1

）=2（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=（x₂-x₁）（2-

1

x1x2

），
∵x₂＞x₁≥

2

，∴x₁x₂≥x₁²≥

1

2

，∴0＜

1

x1x2

＜2，
∴2-

1

x1x2

＞0又x₂-x₁＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[

2

，+∞）上单调递增．
（2）∵f（x）=x+b，∴x²-bx+1=0，∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4

又2≤b≤

13

，∴0≤|x₁-x₂|≤3，故只须当t∈[-1，1]，使m²+mt+1≥3恒成立，记g（t）=tm+m²-2，只须：

g(-1)≥0

g(1)≥0

，∴

m2-m-2≥0

m2+m-2≥0

，∴

m≥2，m≤-1

m≥1，m≤-2

，∴m≥2或m≤-2，故m的取值集合是{m|m≥2或m≤-2}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=2x2+ax，且f（1）=3，（1）试求a的值，并证明f（x）在[22，+∞..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：