已知函数f（x）=2x-ax2+2（x∈R）．（1）当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设关于x的方程f（x）=1x的两个实根为x1，x2，且-1≤a≤1，求|x1-x2|的最大值；（3）在（2）的条件下，若对于[-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2x-ax2+2（x∈R）．（1）当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R）．
（1）当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设关于x的方程f（x）=

1

x

的两个实根为x₁，x₂，且-1≤a≤1，求|x₁-x₂|的最大值；
（3）在（2）的条件下，若对于[-1，1]上的任意实数t，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：济南二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（1）=1得a=-1，
f′（x）=

2(x2+2)-2x(x+1)

(x2+2)2

=

-2(x2+x-2)

(x2+2)2

=

-2(x+2)(x-1)

(x2+2)2

≥0
-2≤x≤1，所以f（x）的减区间是（-∞，-2]和[1，+∞），增区间是[-2，1]（5分）
（2）方程f（x）=

1

x

可化为x²-ax-2=0，△=a²+8＞0
∴x²-ax-2=0有两不同的实根x₁，x₂，
则x₁+x₂=a，x₁x₂=-2
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

a2+8

∵-1≤a≤1，∴当a=±1时，
∴|x₁-x₂|_max=

a1+8

=3
（3）若不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，
由（2）可得m²+tm+1≥3，对t∈[-1，1]都成立m²+tm-2≥0，t∈[-1，1]，
设g（t）=m²+tm-2
若使t∈[-1，1]时g（t）≥0都成立，
则

g(-1)=-m+m2-2≥0

g(1)=m+m2-2≥0

解得：m≥2或m≤-2，所以m的取值范围是m≥2或m≤-2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2x-ax2+2（x∈R）．（1）当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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