规定Axm=x（x-1）（x-2）?…?（x-m+1），其中x∈R，m∈N*．函数f（x）=aAx+13+3bAx2+1（ab≠0）在x=1处取得极值，在x=2处的切线的平行向量为OP=(b+5，5a)．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单-数学试题及答案

1、试题题目：规定Axm=x（x-1）（x-2）?…?（x-m+1），其中x∈R，m∈N*．函数f（x）=aAx+13..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

规定A_x^m=x（x-1）（x-2）?…?（x-m+1），其中x∈R，m∈N*．
函数f（x）=aA_x+1³+3bA_x²+1（ab≠0）在x=1处取得极值，在x=2处的切线的平行向量为

OP

=(b+5，5a)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）是否存在正整数m，使得方程f(x)=6x-

16

3

在区间（m，m+1）内有且只有两个不等实根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知f（x）=a（x+1）x（x-1）+3bx（x-1）+1=ax³+3bx²-（a+3b）x+1，
∴f'（x）=3ax²+6bx-（a+3b）
∴

f′(1)=0

f′(2)=

5a

b+5

解得

a=6

b=-4

∴f（x）=6x³-12x²+6x+1．
（2）∵f'（x）=18x²-24x+6=6（3x-1）（x-1）
由f'（x）＞0得，x＞1或x＜

1

3

，即f（x）在（1，+∞）和（-∞，

1

3

）上单调递增，
由f'（x）＜0得，

1

3

＜x＜1，即f（x）在（

1

3

，1）上单调递减．
（3）方程f(x)=6x-

16

3

等价于18x³-36x²+19=0．
令g（x）=18x³-36x²+19．
则g'（x）=54x²-72x=18x（3x-4）令g'（x）=0得x=0或x=

4

3

．
当x∈（0，

4

3

）时，g'（x）＜0，g（x）是单调递减函数；
当x∈（

4

3

，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是单调递增函数；
∵g（1）=1＞0，g（

4

3

）=-

7

3

＜0，g（2）=19＞0，
∴方程g（x）=0在区间（1，

4

3

），（

4

3

，2）内分别有唯一实根．
∴存在正整数m=1使得方程f(x)=6x-

16

3

在区间（1，2）上有且只有两个不相等的实数跟．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“规定Axm=x（x-1）（x-2）?…?（x-m+1），其中x∈R，m∈N*．函数f（x）=aAx+13..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：