已知f（x）=ax2+4x+1（a＜0），对于给定的负数a，存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立．（1）当a=-1时，求t的值；（2）求t关于a的表达式g（a）；（3）求g（a）的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ax2+4x+1（a＜0），对于给定的负数a，存在一个最大的正数t..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ax²+4x+1（a＜0），对于给定的负数a，存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立．
（1）当a=-1时，求t的值；
（2）求t关于a的表达式g（a）；
（3）求g（a）的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=-1时，f（x）=-（x-2）²+5
由于函数f（x）的最大值大于3，要使存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立，所以t只能是-x²+4x+1=3的较小的根2-

2

（2）由a＜0，f(x)=a(x+

2

a

)2+1-

4

a

当 1-

4

a

＞3，即-2＜a＜0时，要使|f（x）|≤3，在区间[0，t]上恒成立，要使得正数t最大，正数t只能是ax²+4x+1=3的较小的根，即t=

2a+4

-2

a

；
当 1-

4

a

≤3，即a≤-2时，要使|f（x）|≤3，在区间[0，t]上恒成立，要使得正数t最大，正数t只能是ax²+4x+1=-3的较大的根，即t=

-2

1-a

-2

a

；
所以g(a)=

2a+4

-2

a

(-2＜a＜0)

-2

1-a

-2

a

(a≤-2)

（2）当-2＜a＜0时，t=

2a+4

-2

a

=

2

2a+4

+2

＜

1

2

；
当a≤-2时，t=

-2

1-a

-2

a

=

2

1-a

-1

≤

2

3

-1

=

3

+1；
所以g（a）的最大值为

3

+1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ax2+4x+1（a＜0），对于给定的负数a，存在一个最大的正数t..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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