已知函数f（x）=x3+ax2+3bx+c（b≠0），且g（x）=f（x）-2是奇函数．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+3bx+c（b≠0），且g（x）=f（x）-2是奇函数．（Ⅰ）求a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+3bx+c（b≠0），且g（x）=f（x）-2是奇函数．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

试题来源：北京试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为函数g（x）=f（x）-2为奇函数，
所以，对任意的x∈R，都有g（-x）=-g（x），即f（-x）-2=-f（x）+2．
又f（x）=x³+ax²+3bx+c
所以-x³+ax²-3bx+c-2=-x³-ax²-3bx-c+2．
所以

a=-a

c-2=-c+2

解得a=0，c=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³+3bx+2．
所以f'（x）=3x²+3b（b≠0）．
当b＜0时，由f'（x）=0得x=±

-b

．x变化时，f'（x）的变化情况如下：
x∈(-∞，-

-b

)，时f′（x）＞0
x∈(-

-b

，

-b

)，时f′（x）＜0
x∈(

-b

，+∞)，时f′（x）＞0
所以，当b＜0时，函数f（x）在(-∞，-

-b

)上单调递增，
在(-

-b

，

-b

)上单调递减，在(

-b

，+∞)上单调递增．
当b＞0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+3bx+c（b≠0），且g（x）=f（x）-2是奇函数．（Ⅰ）求a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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