若对一切非零实数，已知函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），（1）求f（1），f（-1），（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；（3）若y=f（x），在（0，+∞）上是增函数，且满足y=f(x)+f(x-12)≤0-数学试题及答案

1、试题题目：若对一切非零实数，已知函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

若对一切非零实数，已知函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1），f（-1），
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）若y=f（x），在（0，+∞）上是增函数，且满足y=f(x)+f(x-

1

2

)≤0，求x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1得：f（1）=2f（1），故f（1）=0；
再令x=y=-1得：f（1）=2f（-1）=0，故f（-1）=0；
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
故f（x）是偶函数；
（3）∵f（x）+f（x-

1

2

）=f[x（x-

1

2

）]≤0，偶函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（-1）=f（1）=0，
∴|x（x-

1

2

）|≤1，
∴-1≤x（x-

1

2

）≤1，
∴

2x2-x+2≥0①

2x2-x-2≤0②

，①的解集为R，
解②得

1-

17

4

≤x≤

1+

17

4

，又x≠0．
∴x的取值范围为：[

1-

17

4

，0）∪（0，

1+

17

4

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若对一切非零实数，已知函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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