发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-06 07:30:00
试题原文 |
|
证明:记g(x)=
令f1(x)=
则fi(x),i=1,2,3,4是偶函数,且对任意的x∈R,fi(x+π)=fi(x),i=1,2,3,4. 下证对任意的x∈R,有f1(x)+f2(x)cosx=g(x). 当x≠kπ+
当x=kπ+
而g(x+π)=g(kπ+
下证对任意的x∈R,有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x). 当x≠
当x=kπ(k∈Z)时,h(x)=h(kπ)=h(kπ-2kπ)=h(-kπ)=-h(kπ),所以h(x)=h(kπ)=0,而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0,故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x; 当x=kπ+
故f3(x)sinx=
又f4(x)sin2x=0,从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x. 于是,对任意的x∈R,有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x). 综上所述,结论得证. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x),求证:存在4个函数f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的奇偶性、周期性”。