设f（x）=log121-axx-1为奇函数，a为常数．（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞(12)x+m恒成立，求实数m的取值范-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=log121-axx-1为奇函数，a为常数．（1）求a的值；并判断f（x）在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

设f（x）=log

1

2

1-ax

x-1

为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞(

1

2

)x+m恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，
由

1-ax

x-1

＞0，得（x-1）（1-ax）＞0．
令（x-1）（1-ax）=0，得x₁=1，x₂=

1

a

，∴

1

a

=-1，解得a=-1．
令u（x）=

1+x

x-1

=1+

2

x-1

，设任意x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（1，+∞），
则u（x₁）-u（x₂）=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴u（x₁）-u（x₂）＞0，即u（x₁）＞u（x₂）．
∴u（x）=1+

2

x-1

（x＞1）是减函数，
又y=log

1

2

u为减函数，
∴f（x）=log

1

2

x+1

x-1

在（1，+∞）上为增函数．
（2）由题意知log

1

2

x+1

x-1

-(

1

2

)x＞m，x∈（3，4）时恒成立，
令g（x）=log

1

2

x+1

x-1

-(

1

2

)x，x∈（3，4），由（1）知log

1

2

x+1

x-1

在[3，4]上为增函数，
又-(

1

2

)x在（3，4）上也是增函数，故g（x）在（3，4）上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（3）=log

1

2

2-(

1

2

)3=-

9

8

，
∴m≤-

9

8

，故实数m的范围是（-∞，-

9

8

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=log121-axx-1为奇函数，a为常数．（1）求a的值；并判断f（x）在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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