函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的表达式；（Ⅲ）当x∈(0，12)时，f（x）+2＜logax恒成立，试求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

函数f （x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f （1）=0．
（Ⅰ）求f （0）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅲ）当x∈(0，

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)时，f （x）+2＜log_ax恒成立，试求实数a的取值范围．

试题来源：丰台区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵函数f （x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立
∴令x=1，y=0，f（1+0）-f（0）=1（1+2×0+1）?f（0）=-2…（3分）
（Ⅱ）令 y=0，可得 f（x）=x²+x-2…（5分）
（Ⅲ）f （x）+2＜log_ax即 x²+x＜log_ax
又x∈(0，

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)，所以x²+x＞0，
当a＞1时，log_ax＜0，说明a＞1不合题意．…（7分）
设h(x)=x2+x-logax(0＜x＜

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2

，0＜a＜1)，即h（x）＜0恒成立
因为h′(x)=2x+1-

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xlna

当0＜x＜

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2

，0＜a＜1时，h'（x）＞0恒成立…（9分）
所以 h（x）是增函数，有 h(x)＜h(

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)=

3

4

-loga

1

2

…（11分）
只需

3

4

-loga

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2

≤0恒成立，解得 a≥2-

4

3

所以实数a的取值范围是 a≥2-

4

3

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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