设f（logax）=a(x2-1)x(a2-1)，(a＞0，a≠1)求证：（1）过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；（2）f（3）＞3．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（logax）=a(x2-1)x(a2-1)，(a＞0，a≠1)求证：（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

，(a＞0，a≠1)
求证：
（1）过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；
（2）f（3）＞3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）令t=log_ax，则x=a^t，f（t）=

a

a2-1

(at-a-t)（t∈R），
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)（x∈R），
设x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

a(ax1-ax2)(ax1+x2+1)

(a2-1)ax1+x2

，
（1）当a＞1时，因为x₁0，ax1-ax2＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
（2）当0＜a＜1时，因为a²-1＜0，ax1-ax2＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
∴x₁＜x₂时，恒有f（x₁）＜f（x₂），∴K=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
故过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；
（2）f（3）=

a

a2-1

(a3-a-3)=

a(a6-1)

a3(a2-1)

=

a4+a2+1

a2

=a2+

1

a2

+1≥2

a2?

1

a2

+1=3，
∵a＞0，a≠1，∴a2≠

1

a2

，∴上述不等式不能取等号，
∴f（3）＞3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（logax）=a(x2-1)x(a2-1)，(a＞0，a≠1)求证：（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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