设f（x）是R上的奇函数，且对?x∈R都有f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x3，（1）求证：直线x=1是函数f（x）的图象的一条对称轴；（2）当x=[1，5]时，求函数f（x）的解析式．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是R上的奇函数，且对?x∈R都有f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设f（x）是R上的奇函数，且对?x∈R都有f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x³，
（1）求证：直线x=1是函数f（x）的图象的一条对称轴；
（2）当x=[1，5]时，求函数f（x）的解析式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：因为奇函数，所以f（x+2）=-f（x）=f（-x）对任意实数X成立．
又因为x+2，-x关于直线x=1对称，
故：直线x=1是函数f（x）图象上的一条对称轴
（2）因为：f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）
∴f（x）是以4为最小正周期的周期函数因为：直线x=1是函数f（x）图象上的一条对称轴；
所以：1≤x≤3的图象与-1≤x≤1的图象关于直线x=1对称．
故：f（x）=-（x-2）³，1≤x≤3；
∵f（x）是以4为最小正周期的周期函数
∴把f（x）在-1≤x≤1的图象向右平移四个单位，即可得f（x）在3≤x≤5上的图象；
∴f（x）=（x-4）³，3≤x≤5．
∴f（x）=

-(x-2)3，(1≤x≤3)

(x-4)3，(3＜x≤5)

；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是R上的奇函数，且对?x∈R都有f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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