已知函数f（x）定义在（-1，1）上，f（12）=1，满足f（x）-f（y）=f（x-y1-xy），且数列x1=12，xn+1=2xn1+xn2．（Ⅰ）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；（Ⅱ）求f（xn）的表达式；（Ⅲ）若a1=1，an+1=1-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）定义在（-1，1）上，f（12）=1，满足f（x）-f（y）=f（x-y1-x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，f（

1

2

）=1，满足f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），且数列x₁=

1

2

，x_n+1=

2xn

1+xn2

．
（Ⅰ）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（Ⅱ）求f（x_n）的表达式；
（Ⅲ）若a₁=1，a_n+1=

12n

2n

f（x_n）-a_n，（n∈N₊）．试求a_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为f（x）定义在（-1，1）上满足f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），
所以当x=y=0时，可得f（0）=0，当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），
即f（-y）=-f（y），所以f（-x）=-f（x），
即f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（Ⅱ）因为f(xn-1)=f(

2xn

1+xn2

)=f(

xn-(-xn)

1-xn?(-xn)

)=f(xn)-f(-xn)=2f(xn)，
所以

f(xn+1)

f(xn)

=2，又f(x1)=f(

1

2

)=1，
所以f（x_n）}为等比数列，其通项公式为f(xn)=f(x1)?2n-1=2n-1．…..（6分）
（3）因为

a

n

+a_n+1=6n，所以a_n+1+a_n+2=6（n+1），两式相减，得a_n+2-

a

n

=6，
所以{a_2n-1}与{a_2n}均为公差为6 的等差数列，
所以易求得

a

n

=

3n-2(n为奇数)

3n-1(n为偶数)

．…．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）定义在（-1，1）上，f（12）=1，满足f（x）-f（y）=f（x-y1-x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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