已知函数f（x）=x2+bx+c，g（x）=2x+b，对任意的x∈R，恒有g（x）≤f（x）．（1）证明：c≥1；（2）若b＞0，不等式m（c2-b2）≥f（c）-f（b）恒成立，求m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+bx+c，g（x）=2x+b，对任意的x∈R，恒有g（x）≤f（x）．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+bx+c，g（x）=2x+b，对任意的x∈R，恒有g（x）≤f（x）．
（1）证明：c≥1；
（2）若b＞0，不等式m（c²-b²）≥f（c）-f（b）恒成立，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明，由已知，对任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，即x²+（b-2）x+（c-b）≥0恒成立，
所以△=（b-2）²-4（c-b）≤0，c≥

b2+4

4

≥1
（2）c≥

b2+4

4

≥2

b2

4

×1

=b，
①当c=b时，c²-b²=0，f（c）-f（b）=0，m∈R
②当c＞b时，有m≥

f(c)-f(b)=

c2-b2

=

c2-b2+bc-b2

c2-b2

=

c+2b

b+c

，令t=

b

c

，则0＜t＜1

c+2b

b+c

=

1+2?

b

c

b

c

+1

=

1+2t

t+1

=2-

1

1+t

，而函数h（t）=2-

1

1+t

（0＜t＜1）是增函数，
所以函数h（t）的值域为（1，

3

2

），则m的取值范围是[

3

2

，+∞）
综上所述，m的取值范围是[

3

2

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+bx+c，g（x）=2x+b，对任意的x∈R，恒有g（x）≤f（x）．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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