设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+12．（1）求f(12)和f(kn)+f(n-kn)(k=0，1，2，…，n)的值；（2）数列{an}满足：an=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(1)-f(12)，数列{an}是等差数-数学试题及答案

1、试题题目：设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+12．（1）求f(12)和f(kn)+f(..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+

1

2

．
（1）求f(

1

2

)和f(

k

n

)+f(

n-k

n

)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)-f(

1

2

)，数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)=f(x-1)+

1

2

，且f（x）是奇函数
∴f(

1

2

)=f(

1

2

-1)+

1

2

=f(-

1

2

)+

1

2

=-f(

1

2

)+

1

2

∴2f(

1

2

)=

1

2

，故f(

1

2

)=

1

4

（3分）
因为f(x)=f(x-1)+

1

2

=-f(1-x)+

1

2

，所以f(x)+f(1-x)=

1

2

．
令x=

k

n

，得f(

k

n

)+f(1-

k

n

)=

1

2

，即f(

k

n

)+f(

n-k

n

)=

1

2

．（6分）
（2）令sn=f(0)+f(

1

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)
又sn=f(1)+f(

n-1

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)
两式相加2sn=[f(0)+f(1)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(1)+f(0)]=

n+1

2

．
所以sn=

n+1

4

，（6分）
故an=sn-f(

1

2

)=

n+1

4

-

1

4

=

n

4

，n∈N*（10分）
又an+1-an=

n+1

4

-

n

4

=

1

4

．故数列{a_n}是等差数列．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+12．（1）求f(12)和f(kn)+f(..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：