设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1e-1，e-1]时，是否存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²+2x-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[

1

e

-1，e-1]时，是否存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解析：（Ⅰ）由1+x＞0得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f′(x)=2x+2-

2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

．
由f′（x）＞0得x＞0；由f′（x）＜0得-1＜x＜0，
∴函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；递减区间是（-1，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
∴f（x）_min=f（0）=0
又∵f(

1

e

-1)=

1

e2

+1，f（e-1）=e²-3，且e2-3＞

1

e2

+1，
∴x∈[

1

e

-1，e-1]时，f（x）_max=e²-3．
∵不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立，
∴

-m2+2m+e2≥f(x)max

m＜f(x)min????

，
即

-m2+2m+e2≥e2-3

m＜0??????

?

m2-2m-3≤0

m＜0???

?

-1≤m≤3

m＜0

?-1≤m＜0
∵m是整数，∴m=-1．
∴存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立．
（Ⅲ）由f（x）=x²+x+a得x-a-2ln（1+x）=0，x∈[0，2]
令g（x）=x-a-2ln（1+x），则g′(x)=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，x∈[0，2]
由g′（x）＞0得1＜x≤2；由g′（x）＜0得0≤x＜1．
∴g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
∵方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，
∴函数g（x）在[0，1）和（1，2]上各有一个零点，
∴

g(0)≥0

g(1)＜0

g(2)≥0

?

-a≥0

1-a-2ln2＜0

2-a-2ln3≥0

?

a≤0

a＞1-2ln2

a≤2-2ln3

?1-2ln2＜a≤2-2ln3，
∴实数a的取值范围是1-2ln2＜a≤2-2ln3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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