定义在R上的函数f(x)=x+bax2+1（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，f（x）取得最大值．（1）求a、b的值；（2）设曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l与y轴的交点为（0，t），求实数t的取-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数f(x)=x+bax2+1（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数f(x)=

x+b

ax2+1

（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）设曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线l与y轴的交点为（0，t），求实数t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵R上的函数f(x)=

x+b

ax2+1

（a，b∈R且a≠0）是奇函数
∴f（0）=0，解得b=0
∴f(x)=

x

ax2+1

∴f′（x）=

ax2+1-x×2ax

(ax2+1)2

=

-ax2+1

(ax2+1)2

∵当x=1时，f（x）取得最大值
∴f′（1）=

-a +1

(a+1)2

=0
∴a=1
（2）由（1）知，f(x)=

x

x2+1

，f′（x）=

-x2+1

(x2+1)2

∴f′（x₀）=

-x02+1

(x02+1)2

∴曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线l为：y-

x0

x02+1

=

-x02+1

(x02+1)2

×(x-x0)
令x=0，则y=

x0

x02+1

+

-x02+1

(x02+1)2

×(0-x0)
∴t=

2x03

(x02+1)2

∴t′=

2x02(x02+1)(3-x02)

(x02+1)4

由t′＞0，可得3-x0 2＜0，解得-

3

＜x0＜

3

；
由t′＜0，可解得x₀＜-

3

，x0＞

3

∴函数在[-

3

，

3

]上单调增，在（-∞，-

3

），（

3

，+∞）上单调减
∵x₀＞0，t＞0；x₀＜0，t＜0
∴x₀=-

3

时，tmin=-

3

8

；x₀=

3

时，tmax=

3

8

∴实数t的取值范围是[-

3

8

，

3

8

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数f(x)=x+bax2+1（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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