已知函数f（x）=x3+bx2+（b2-1）x+1图象的对称中心为（0，1）；函数g(x)=ax3+12sinθ?x2-2x在区间[-2，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求sinθ的值及g（x）的解-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+bx2+（b2-1）x+1图象的对称中心为（0，1）；函数g(x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+bx²+（b²-1）x+1图象的对称中心为（0，1）；函数g(x)=ax3+

1

2

sinθ?x2-2x在区间[-2，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求sinθ的值及g（x）的解析式；
（Ⅲ）设φ（x）=f（x）-g（x），试证：对任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，都有|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意知，f（x）+f（-x）=2，
即x³+bx²+（b²-1）x+1-x³+bx^2-（b²-1）x+1=2，解得b=0．
（Ⅱ）g'（x）=3ax²+sinθ?x-2
由

g′(2)≤0

g′(1)=0

?

12a-2sinθ-2≤0

3a+sinθ-2=0

，消去a可得sinθ≥1，
从而sinθ=1，a=

1

3

，
∴sinθ=1，g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-2x．
（Ⅲ）证明：φ(x)=f(x)-g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2+x+1
∴φ'（x）=2x²-x+1=2(x-

1

4

)2+

7

8

．
对任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，
|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|?|φ'（x）|＞2．
而在（1，+∞）上，φ'（x）＞φ'（1）=2×

9

16

+

7

8

=2
∴对任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，都有|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+bx2+（b2-1）x+1图象的对称中心为（0，1）；函数g(x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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