已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2．（1）求f（x）的单调区间和极大值；（2）证明对任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）证明对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

试题来源：天津试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由奇函数的定义，应有f（-x）=-f（x），x∈R
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d∴d=0
因此，f（x）=ax³+cxf'（x）=3ax²+c
由条件f（1）=-2为f（x）的极值，必有f'（1）=0，故

a+c=-2

3a+c=0

解得a=1，c=-3
因此，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）f'（-1）=f'（1）=0
当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（-∞，-1）上是增函数
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在单调区间（-1，1）上是减函数
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数
所以，f（x）在x=-1处取得极大值，极大值为f（-1）=2
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是减函数，
且f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2
所以，对任意的x₁，x₂∈（-1，1），恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=2-（-2）=4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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