已知函数f（x）=sinx3cosx-x（0＜x＜π2）．（Ⅰ）求f′(π4)；（Ⅱ）求证：不等式sin3x＞x3cosx在x∈(0，π2)上恒成立；（Ⅲ）求g（x）=1sin2x-1x2在x∈(0，π4]的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=sinx3cosx-x（0＜x＜π2）．（Ⅰ）求f′(π4)；（Ⅱ）求证：不等式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

sinx

3	cosx

-x（0＜x＜

π

2

）．
（Ⅰ）求f′(

π

4

)；
（Ⅱ）求证：不等式sin³x＞x³cosx在x∈(0，

π

2

)上恒成立；
（Ⅲ）求g（x）=

1

sin2x

-

1

x2

在x∈(0，

π

4

]的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分14分）
（Ⅰ）∵f′(x)=

cosx

3	cosx

-sinx(

3	cosx

)′

3	cos2x

-1=

3cos2x+sin2x

3cosx

3	cosx

-1=cos

2

3

x+

1

3

sin2xcos-

4

3

x-1…（3分）
∴f′(

π

4

)=cos

2

3

π

4

+

1

3

sin2

π

4

cos-

4

3

π

4

-1=

2

3

3	4

-1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=cos

2

3

x+

1

3

sin2xcos-

4

3

x-1，其中f（0）=0
令G（x）=f'（x），则G′(x)=

2

3

cos-

1

3

x?(-sinx)+

1

3

[2sinxcosxcos-

4

3

x+sin2x?(-

4

3

)?cos-

7

3

x?(-sinx)]
=

4

9

sin3xcos-

7

3

x＞0在x∈(0，

π

2

)上恒成立
故G（x）在(0，

π

2

)上为增函数，故f′（x）＞f′（0）=0，…（8分）
所以f（x）在(0，

π

2

)上为增函数，故f（x）＞f（0）=0，
即sin³x＞x³cosx，…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知sin³x-x³cosx＞0在x∈(0，

π

4

]上恒成立．
则g′（x）=

2(sin3x-x3cosx)

x3sin3x

＞0在x∈(0，

π

4

]上恒成立． …（12分）
即g（x）在x∈(0，

π

4

]单调递增
于是g(x)max=g(

π

4

)=2-

16

π2

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=sinx3cosx-x（0＜x＜π2）．（Ⅰ）求f′(π4)；（Ⅱ）求证：不等式..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：