已知f(x)=ae-x+cosx-x(0＜x＜1)，(1)若对任意的x∈(0，1)，f(x)＜0恒成立，求实数a的取值范围；(2)求证：e-x+sinx＜1+(0＜x＜1)。-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=ae-x+cosx-x(0＜x＜1)，(1)若对任意的x∈(0，1)，f(x)＜0恒..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知f(x)=ae^-x+cosx-x(0＜x＜1)，
(1)若对任意的x∈(0，1)，f(x)＜0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求证：e^-x+sinx＜1+

(0＜x＜1)。

试题来源：模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(1)由f(x)＜0得a＜(x-cosx)·e^x，
记g(x)=(x-cosx)·e^x，
则g′(x)=(1+sinx-cosx+x)·e^x，
因为0＜x＜1，
所以sinx＞1，1-cosx＞0，e^x＞0，
所以g′(x)＞0，则g(x)在(0，1)上为增函数，
所以-1＜g(x)＜(1-cos1)·e，
故a≤-1。
(2)构造函数

，且h(0)=0，
则h′(x)= -e^-x+cosx-x，
由(1)知当a=-1时f(x)=-e^-x+cosx-x＜0(0＜x＜1)，
所以h(x)在(0，1)上单调递减，所以h(x)＜h(0)=0，
所以

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=ae-x+cosx-x(0＜x＜1)，(1)若对任意的x∈(0，1)，f(x)＜0恒..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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