发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-15 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)由题意可知函数的定义域为(0,+∞), 求导数可得f′(x)=2xlnx+x2?
令f′(x)=0,可解得x=
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(Ⅱ)证明:当0<x≤1时,f(x)≤0,设t>0,令h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞), 由(Ⅰ)可知,h(x)在区间(1,+∞)单调递增,h(1)=-t<0,h(et)=e2tlnet-t=t(e2t-1)>0, 故存在唯一的s∈(1,+∞),使得t=f(s)成立; (Ⅲ)证明:因为s=g(t),由(Ⅱ)知,t=f(s),且s>1, 从而
要使
当t>e2时,若s=g(t)≤e,则由f(s)的单调性,有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾, 所以s>e,即u>1,从而lnu>0成立, 另一方面,令F(u)=lnu-
令F′(u)=0,可解得u=2, 当1<u<2时,F′(u)>0,当u>2时,F′(u)<0, 故函数F(u)在u=2处取到极大值,也是最大值F(2)=ln2-1<0, 故有F(u)=lnu-
综上可证:当t>e2时,有
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经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=x2lnx.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)证明:对任意的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的零点与方程根的联系”。