设f（x）=13x3+mx2+nx．（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f（x）的解析式；（2）如果m+n＜10（m，n∈N+），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间（a，-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=13x3+mx2+nx．（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

设f（x）=

1

3

x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间（a，b）的长度为b-a）

试题来源：江西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得g（x）=f′（x）-2x-3=x²+2mx+n-2x-3=（x+m-1）²+（n-3）-（m-1）²，
又g（x）在x=-2处取得最小值-5，
所以

m-1=2

(m-3)2

+(n-3)-(m-1)2=-5，解得m=3，n=2．
所以f（x）=

1

3

x³+3x²+2x．
（2）因为f′（x）=x²+2mx+n且f（x）的单调递减区间的长度是正整数，
所以方程f′（x）=0，即x²+2mx+n=0必有两不等实根，
则△=4m²-4n＞0，即m²＞n．
不妨设方程f′（x）=0的两根分别为x₁、x₂，则|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=2

m2-n

且为正整数．
又因为m+n＜10（m，n∈N⁺），所以m≥2时才能有满足条件的m、n．
当m=2时，只有n=3符合要求；
当m=3时，只有n=5符合要求；
当m≥4时，没有符合要求的n．
故只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=13x3+mx2+nx．（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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