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1、试题题目：已知曲线C：y=4x，Cn：y=4x+n（n∈N+），从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-25 07:30:00

试题原文

已知曲线C：y=4x，Cn：y=4x+n（n∈N+），从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1），设x1=1，an=xn+1﹣xn，．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）记，数列{cn}的前n项和为Tn，
求证：；
（3）若已知，记数列{an}的前n项和为An，数列{dn}的前n项和为Bn，试比较An与的大小．

  试题来源：月考题   试题题型：解答题   试题难度：偏难   适用学段：高中   考察重点：反证法与放缩法



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：（1）依题意点Pn的坐标为（xn，yn+1），
∴=，
∴xn+1=xn+n，
∴xn=xn﹣1+n﹣1=xn﹣2+（n﹣2）+（n﹣1）=…=x1+1+2+…+（n﹣1）=．
（2）∵，
∴，
∴当n≥2时，，
∴T2n﹣1=c1+c2+…+c2n﹣1≤=，（当n=1时取“=”）．
（3）∵an=xn+1﹣xn=n，
∴，
由，
知，
∴，
而d1=2，
∴，
于是
=．
∴．
当n=1，2时 ；
当n=3时，
当n≥4时，
下面证明：当n≥4时，
证法一：（利用组合恒等式放缩）
当n≥4时，=，
∴当n≥4时，
证法二：（函数法）∵n≥4时，2n﹣2
构造函数，
[h'（x）]'=h''（x）=1﹣2xln22
∴当x∈[4，+∞）时，h''（x）=1﹣2xln22＜0
∴h'（x）=x﹣2xln2在区间[4，+∞）是减函数，
∴当x∈[4，+∞）时，
∴在区间[4，+∞）是减函数，
∴当x∈[4，+∞）时，
从而n≥4时，，即2n﹣2，
∴当n≥4时，．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C：y=4x，Cn：y=4x+n（n∈N+），从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂..”的主要目的是检查您对于考点“高中反证法与放缩法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中反证法与放缩法”。


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