已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，椭圆短轴长为2153．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为-12，求斜率k的值；-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，椭圆短轴长为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，椭圆短轴长为

2

15

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-

1

2

，求斜率k的值；
②若点M（-

7

3

，0），求证：

MA

?

MB

为定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）满足a²=b²+c²①，
由

c

a

=

6

3

②，2b=

2

15

3

③．联立①②③，
解得a²=5，b2=

5

3

，
所以椭圆方程为

x2

5

+

y2

5

3

=1．
（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入

x2

5

+

y2

5

3

=1中，得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，x1+x2=-

6k2

3k2+1

，
因为AB中点的横坐标为-

1

2

，所以-

6k2

3k2+1

=-

1

2

，解得k=±

3

，
（2）由（1）知x1+x2=-

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-5

3k2+1

，
所以

MA

?

MB

=（x₁+

7

3

，y₁）（x2+

7

3

，y₂）=（x1+

7

3

）（x2+

7

3

）+y₁y₂
=（x1+

7

3

）（x2+

7

3

）+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（

7

3

+k²）（x₁+x₂）+

49

9

+k²
=（1+k²）

3k2-5

3k2+1

+（

7

3

+k2）（-

6k2

3k2+1

）+

49

9

+k²=

4

9

；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，椭圆短轴长为..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

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