已知抛物线C：y2=4x，直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两点（点A在第一象限）（1）若|AB|=10，求直线l的方程；（2）过点A的抛物线的切线与直线x=-1交于点E，求证：EF⊥AB．-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C：y2=4x，直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知抛物线C：y²=4x，直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两点（点A在第一象限）
（1）若|AB|=10，求直线l的方程；
（2）过点A的抛物线的切线与直线x=-1交于点E，求证：EF⊥AB．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
（1）若l⊥x轴，则|AB|=4不适合
故设l：y=k（x-1），代入抛物线方程得k²x²-2（k²+2）x+k²
△=16k²+16＞0∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

．
由|AB|=x₁+x₂+2=

2(k2+2)

k2

+2=10，得k²=

2

3

直线l的方程为y=±

6

3

(x-1)
（2）当y＞0时y′=

1

x

?切线的方程：y-y₁=

1

y1

(x-x1)得
E（-1，y1-

1+x1

x1

），

EF

=（2，

1+x1

x1

-y1），

FA

=（ x₁-1，y₁）

EF

?

FA

=2（x₁-1）+（

1+x1

x1

-y1）y₁=2（x₁-1）+2（1+x₁）-4x₁=0
∴EF⊥FA，即EF⊥AB．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C：y2=4x，直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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