已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，F为右焦点，M、N两点在椭圆C上，且MF=λFN（λ＞0）定点A（-4，0）（I）求证：当λ=1时，有MN⊥AF；（Ⅱ）若λ=1时，有AM?AN=1063，求椭圆C的方程-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，F为右焦点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，F为右焦点，M、N两点在椭圆C上，且

MF

=λ

FN

（λ＞0）定点A（-4，0）
（I）求证：当λ=1时，有

MN

⊥

AF

；
（Ⅱ）若λ=1时，有

AM

?

AN

=

106

3

，求椭圆C的方程．
（Ⅲ）在（Ⅱ）确定的椭圆C上，当

AM

?

AN

×tan∠MAN的值为6

3

时，求直线MN的方程．

试题来源：临沂二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（I）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0）
则

MF

=（c-x₁，-y₁），

FN

=（x₂-c，y₂），
当λ=1时，

MF

=

FN

∴c-x₁=x₂-c且-y₁=y₂
∴x₁+x₂=2c且-y₁=y₂
∵M、N两点在椭圆C上，
∴

x

21

=a2(1-

y

21

b2

)，

x

22

=a2(1-

y

22

b2

)
故

x

21

=

x

22

，即|x₁|=|x₂|，由x₁+x₂=2c可得x₁=x₂=c
∴

MN

=（0，2y₂），

AF

=（c+4，0）
∴

MN

?

AF

=0
∴

MN

⊥

AF

；
（Ⅱ）当λ=1时，不妨设M（c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），

AM

?

AN

=（c+4）²-

b4

a2

=

106

3

，
因为a²=

3

2

，b2=

1

2

c2，
∴

5

6

c2+8c+16=

106

3

，
∴c=2，a²=6，b²=2，
故椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（III）

AM

?

AN

×tan∠MAN=|

AM

|?|

AN

|?sin∠MAN=2S_△AMN=|AF||y₁-y₂|
当直线MN与x轴垂直时，|y₁-y₂|=

2

6

3

，
|AF||y₁-y₂|=6×

2

6

3

=4

6

不满足条件
当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为：y=k（x-2），（k≠0）
由

y=k(x-2)

x2

6

+

y2

2

=1

得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0
∴|y₁-y₂|=

24k4+24k2

1+3k2

∴6×

24k4+24k2

1+3k2

=6

3

即k⁴-2k²+1=0
∴k²=1，解得k=±1
故直线MN的方程为：y=±（x-2）
即x-y-2=0或x+y-2=0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，F为右焦点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：