设双曲线C：x2a2-y2=1(a＞0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．（1）求a的取值范围：（2）设直线l与y轴的交点为P，且PA=512PB．求a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：设双曲线C：x2a2-y2=1(a＞0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设双曲线C：

x2

a2

-y2=1 (a＞0) 与直线 l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．
（1）求a的取值范围：（2）设直线l与y轴的交点为P，且

PA

=

5

12

PB

．求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

x2

a2

-y2=1

x+y=1.

有两个不同的实数解．
消去y并整理得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0①，所以

1-a2≠0.

4a4+8a2(1-a2)＞0.

解得0＜a＜

2

且a≠1．
所以a的取值范围为：(0，1)∪(1，

2

)．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵

PA

=

5

12

PB

， ∴(x1，y1-1)=

5

12

(x2，y2-1). 由此得x1=

5

12

x2．
由于x₁，x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以

17

12

x2=-

2a2

1-a2

．，

5

12

x

22

=-

2a2

1-a2

. 消去，x2，得-

2a2

1-a2

=

289

60

由a＞0，所以a=

17

13

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设双曲线C：x2a2-y2=1(a＞0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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