已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦点分别是F1，F2，点M(1，32)在椭圆上，且|MF1|+|MF2|=4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C：x2a2+y2b2=1交于A，B两-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦点分别是F1，F2，点M..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点分别是F₁，F₂，点M(1 ，

3

2

)在椭圆上，且|MF₁|+|MF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1交于A，B两点，点P满足

AP

+

BP

=

0

，点Q的坐标是(0 ，

3

2

)，设直线PQ的斜率是k₁，且k₁?k=2，求实数t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为点M(1 ，

3

2

)在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，且|MF₁|+|MF₂|=4，
所以

1

a2

+

3

4b2

=1，2a=4．
所以a²=4，b²=1．
所以椭圆C的标准方程是

x2

4

+y2=1．…..（3分）
（Ⅱ）联立方程组

y=kx+t

x2

4

+y2=1

消去y，得（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-1）=0．
所以△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）＞0，…..（4分）
即1+4k²＞t²．①…..（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x1+x2=

-8kt

1+4k2

．…..（6分）
因为

AP

+

BP

=

0

，所以点P是AB的中点，
设P（x_P，y_P），所以xp=

-4kt

1+4k2

，yp=kxP+t=

1

1+4k2

．…..（8分）
因为点Q的坐标是(0 ，

3

2

)，直线PQ的斜率是k₁，
所以k1=

yP-

3

2

xP

=

2t-3(1+4k2)

-8kt

．…..（10分）
因为k₁?k=2，所以k?

2t-3(1+4k2)

-8kt

=2．
所以1+4k²=6t．②…..（12分）
所以由①，②式，可得 6t＞t²．
所以0＜t＜6．
所以实数t的取值范围是0＜t＜6．…..（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦点分别是F1，F2，点M..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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