过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ，切点分别为P、Q（I）若切线AP，AQ的斜率分别是k1，k2，求证：k1，k2为定值；（Ⅱ）求证：直线PQ过定点，并求出定点的坐标（Ⅲ）要-数学试题及答案

1、试题题目：过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ，切点分别为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两条切线AP、AQ，切点分别为P、Q
（I）若切线AP，AQ的斜率分别是k₁，k₂，求证：k₁，k₂为定值；
（Ⅱ）求证：直线PQ过定点，并求出定点的坐标（Ⅲ）要使

SAPQ

|PQ|

最小，求

AQ

?

AP

的值

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设过A（a，0）与抛物线y=x²+1的相切的直线的斜率是k，
则该切线的方程为：y=k（x-a）
由

y=k(x-a)

y=x2+1

得x²-kx+（ka+1）=0∴△=k²-4（ka+1）=k₂-4ak-4=0
则k₁，k₂都是方程k²-4ak-4=0的解，故k₁k₂=-4
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
则-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）∴y₁=2x₁a+2，同理y₂=2x₂a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）
（Ⅲ）要使

S△APQ

|

PQ

|

最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离d=

2a2+2

4a2+1

=

1

2

(

4a2+1+3

4a2+1

)=

1

2

(

4a2+1

+

3

4a2+1

)≥

3

当且仅当

4a2+1

=

3

4a2+1

即a2=

1

2

时取等号设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

y=2xa+2

y=x1+1

得x²-2ax-1=0，则x₁+x₂=2a，x₁x₂=-1，

AQ

?

AP

=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=（x₁-a）（x₂-a）+（2ax₁+2）（2ax₁+2）
=（1+4a²）x₁x₂+3a（x₁+x₂）+a²+4
=-（1+4a²）+3a?2a+a²+4
=3a²+3
=

9

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ，切点分别为..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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