已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点．设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，MF=λFB，其中λ＞0（I）若λ=1，求直线l的斜率-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x正半轴上，倾斜角为锐角的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点．设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，

MF

=λ

FB

，其中λ＞0
（I）若λ=1，求直线l的斜率；
（II）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁、B₁，且|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差数列，求λ的值．

试题来源：昆明模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

依题意设抛物线方程为y²=2px（p＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y₀，
则F（

p

2

，0），准线方程为x=-

p

2

，直线l的方程为y=k（x-

p

2

），M（-

p

2

，y₀），y₂＞0
因为

MF

=λ

FB

，所以（p，-y₀）=λ（x₂-

p

2

，y₀），故p=λ（x₂-

p

2

）
（I）若λ=1，由p=λ（x₂-

p

2

），y₂²=2px₂，y₂＞0，得x₂=

3p

2

，y₂=

3

p，
故点B的坐标为（

3p

2

，

3

p）
所以直线l的斜率k=

3

p-0

3p

2

-

p

2

=

3

（5分）
（II）联立y²=2px，y=k（x-

p

2

），消去y，可得k²x²-（k²p+2p）x+

k2p2

4

=0，则x₁x₂=

p2

4

又x2=

p

λ

+

p

2

（7分）
故x1=

p2

4x2

=

λp

2λ+4

（9分）
因为|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差数列，
所以|

B1F

|+2|

A1F

|=2|

OF

|，
故（x₂-

p

2

）+2（

p

2

-x₁）=p，即x₂-2x₁=

p

2

将x2=

p

λ

+

p

2

，x1=

λp

2λ+4

代入上式得

1

λ

=

λ

λ+2

因为λ＞0，所以λ=2．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x正半轴上，倾斜角为锐角的..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：