已知抛物线x2=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）过点F的动直线l交抛物线于A、B两点，求弦AB中点Q的轨迹方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线x2=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知抛物线x²=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的动直线l交抛物线于A、B两点，求弦AB中点Q的轨迹方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）抛物线的准线：y=-

p

2

，
∴点P到准线的距离为1+

p

2

=2，
∴p=2，
∴抛物线方程为x²=4y．
（2）F（0，1），设AB方程为y=kx+1（k显然存在）
由

y=kx+1

x2=4y

?x2-4kx-4=0，（△＞0恒成立）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
则x₁+x₂=4k，
∵Q（x，y）是线段AB的中点，
∴

x=

x1+x2

2

=2k

y=kx+1

，
∴k=

x

2

，
∴y=

1

2

x2+1，
整理，得x²-2y+2=0．
故弦AB中点Q的轨迹方程为：x²-2y+2=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线x2=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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