设椭圆T：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合，l与椭圆交于P、Q，当l与x轴垂直时，|PQ|=43，F2为椭圆的右焦点，M为椭圆T上任意一点，若△F1MF2面积的最大值-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆T：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线l过椭圆左焦点F1且不与..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线l过椭圆左焦点F₁且不与x轴重合，l与椭圆交于P、Q，当l与x轴垂直时，|PQ|=

4

3

，F₂为椭圆的右焦点，M为椭圆T上任意一点，若△F₁MF₂面积的最大值为

2

．
（1）求椭圆T的方程；
（2）直线l绕着F₁旋转，与圆O：x²+y²=5交于A、B两点，若|AB|∈（4，

19

）），求△F₂PQ的面积S的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可将x=-c代入椭圆方程可得，

c2

a2

+

y2

b2

=1
∵c=

a2-b2

∴

a2-b2

a2

+

y2

b2

=1即y=±

b2

a

∴|PQ|=

2b2

a

=

4

3

①
由已知可得

1

2

b? 2c=

2

②
①②联立可得a²=3，b²=2
∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1
（2）设直线L：x=my-1即x-my+1=0，圆心O到直线L的距离d=

1

1+m2

由圆的性质可知AB=2

r2-d2

=2

5-

1

1+m2

又AB∈[4，

19

]，则4≤2

5-

1

1+m2

≤

19

∴m²≤3
联立方程组

x=my-1

x2

3

+

y2

2

=1

消去x可得（2m²+3）y²-4my-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2=

4m

3+2m2

，y1y2=

-4

2m2+3

S=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

(

4m

3+2m2

)2+

16

3+2m2

=

48(1+m2)

(2m2+3)2

=

48

4t+

1

t

+4

（令t=m²+1∈[1，4]）
设f（t）=4t+

1

t

（t∈[1，4]）
则f′(t)=4-

1

t2

＞0对一切t∈[1，4]恒成立
∴f（t）=4t+

1

t

在[1，4]上单调递增，4t+

1

t

∈[5，

65

4

]
∴S∈[

8

3

9

，

4

3

]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆T：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线l过椭圆左焦点F1且不与..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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