设实数x，y同时满足条件：4x2-9y2=36，且xy＜0．（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；（3）若方程f（x）=k（x-1）（k∈R）恰有两个不同的实数根，求k的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：设实数x，y同时满足条件：4x2-9y2=36，且xy＜0．（1）求函数y=f（x）的解..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设实数x，y同时满足条件：4x²-9y²=36，且xy＜0．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）若方程f（x）=k（x-1）（k∈R）恰有两个不同的实数根，求k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵4x²-9y²=36，
∴y=±

2

3

x2-9

．
∵xy＜0，∴y≠0．
又∵4x²-36=9y²＞0，
∴x＞3，x＜-3．
∵xy＜0，
∴f(x)=

2

3

x2-9

(x＜-3)

-

2

3

x2-9

(x＞3)

．
函数y=f（x）的定义域为集合D={x∈R|x＞3，x＜-3}．
（2）当x＜-3有-x＞3，f（-x）=-

2

3

(-x)2-9

=-

2

3

x2-9

=-f（x），
同理，当x＞3时，有f（-x）=-f（x）．
任设x∈D，有f（-x）=-f（x），
∴f（x）为定义域上的奇函数．
（3）联立方程组

4x2-9y2=36

y=k(x-1)

，
可得，（4-9k²）x²+18k²x-（9k²+36）=0，
（Ⅰ）当k2=

4

9

时，即k=±

2

3

时，方程只有唯一解，与题意不符；
∴k≠±

2

3

．
（Ⅱ）当k2≠

4

9

时，即方程为一个一元二次方程，
要使方程有两个相异实数根，
则△=（18k²）²+4×（4-9k²）（9k²+36）＞0．
解之得 -

2

＜k＜

2

，但由于函数f（x）的图象在第二、四象限．
故直线的斜率k＜0，
综上可知-

2

＜k＜-

2

3

或-

2

3

＜k＜0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设实数x，y同时满足条件：4x2-9y2=36，且xy＜0．（1）求函数y=f（x）的解..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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