已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A，B两点．（1）当椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度；（3）当椭圆的-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A，B两点．
（1）当椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度；
（3）当椭圆的离心率e满足

3

≤e≤

2

，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列
∴2b²=a²+c²=a²+1
∵a²-b²=c²=1
∴a²=3，b²=2
∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）直线x+y-1=0与椭圆方程

x2

3

+

y2

2

=1联立，消去y可得5x²-6x-3=0，∴x=

6±7

2

10

∴弦AB的长度为

1+1

?|

6+7

2

10

-

6-7

2

10

|=

14

5

；
（3）直线x+y-1=0与椭圆方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1联立，消去y可得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2-a2b2

a2+b2

∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，
∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴2?

a2-a2b2

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0
∴b²=

a2

2a2-1

∴c²=a²-b²=

2a4-2a2

2a2-1

∴e2=

c2

a2

=

2a2-2

2a2-1

∵椭圆的离心率e满足

3

≤e≤

2

，
∴

1

3

≤

2a2-2

2a2-1

≤

1

2

∴

5

2

≤a≤

6

2

∴

5

≤2a≤

6

∴椭圆长轴长的取值范围为[

5

，

6

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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